בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     
     
     
     
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 5811 - X‏‏‏‏‏‏‏‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ בחזקת 0 תאריך: 13/09/2012
תחומי דעת:  מתמטיקה  

שלום.

מהו ההסבר המתמטי לכך שכל מספר בחזקת 0 יהיה שווה 1?

תודה

חיה

תשובה מאת: פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
   

נתחיל את ההסבר מחזרה קצרה על ההגדרה של פעולת החזקה.

חזקה היא פעולת חשבון שכמו הרבה פעולות (כגון חיבור וכפל) שותפים בה שני מספרים שכתוצאה מהפעולה ביניהם מתקבל מספר שלישי.

אחד המספרים נקרא בסיס-החזקה והשני נקרא מעריך-החזקה.

אם המעריך הוא מספר שלם גדול מ-1 (2, 3, ...), ההגדרה של הפעולה היא – ריבוי הכפל, כלומר x בחזקת n באשר n>1 שווה למכפלה שיש בה n גורמים שכולם שווים ל-x. כך למשל אם בסיס החזקה הוא 3.5 והמעריך הוא 4 מתקבלת החזקה 3.5 בחזקת 4 השווה ל-
3.5x3.5x3.5x3.5= 150.0625

ברור שההגדרה הזאת אינה תופסת למעריך קטן מ-2. (כמו למשל x בחזקת 1 או x בחזקת 0 ) וגם x בחזקת מספר לא שלם או בחזקת מספר שלילי אינם מבעלי משמעות לפי ההגדרה הזאת.

כדי להרחיב את פעולת החזקה למעריכים 1, 0 ולמעריכים לא שלמים (שברים) או שליליים צריך לדאוג לכך שההגדרה שתינתן לא תעמוד בסתירה להגדרה של חזקה שהמעריך שלה שלם וגדול מ-1. אדרבה, ההגדרה צריכה להיות הרחבה של ההגדרה הנ"ל במובן שתהיה התאמה בין השתיים ושום דבר שכבר ידוע לא יתערער. מה ידוע?

ידוע למשל שאם כופלים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n+m (למשל x3 x x5 שווה x8).

ואם מחלקים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n-m (למשל
x5ל חלק ל- x3 שווה x2).

בנוסף לכך, נזכור גם שהמנה של שני מספרים שווים זה בזה היא 1 (בהנחה שהם לא אפס, למשל 4:4=1)

אם נחלק x בחזקת 3 ב-x בחזקת 3, מצד אחד ברור שהתוצאה היא 1 כי חילקנו שני מספרים שווים מאידך אם אנחנו רוצים שחוקי החזקות יחולו ללא הגבלה אז נקבל x3-3 היינו x0.

לכן על מנת שלא תיווצר סתירה מגדירים x בחזקת 0 כשווה ל-1

(באופן דומה מגיעים להגדרה של x בחזקת 1 כשווה ל-x ואת x בחזקה שלילת וגם x בחזקת שבר בהתאמה לחוקים החלים על חזקה שהמעריך שלה > 1)


שנה טובה

פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up