בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     
     
     
     
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 5771 - פונקציה הפוכה תאריך: 12/8/2012
תחומי דעת:  מתמטיקה  

שלום


לפונקציות רבות די קל למצוא את הפונקציה ההפוכה


למשל הפונקציה ההפוכה לפונקציה


y=2x


היא


y=x/2


מהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה


y=x+1/x

תשובה מאת: פרופ' דן עמיר
   

נזכור ש"פונקציה" מספרית מוגדרת בתחום הגדרה מסוים, ושלכל מספר x בתחום ההגדרה היא מקבלת ערך מספרי אחד ויחיד y=f(x) (בתיאור הגרפי במישור xy זה אומר שלכל מספר x בתחום ההגדרה יש בדיוק נקודה אחת של הגרף הנמצאת בדיוק מעל (x. כדי שנוכל לדבר על פונקציה הפוכה ל- f, כלומר פונקציה האומרת לנו מאיזה x קיבלנו את y, נחוץ שלכל y בתחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה יהיה x אחד ויחיד המקיים y=f(x) . לכן, ראשית לכל, כדי שיהיה בכלל x
כזה, אנחנו יכולים להגדיר פונקציה הפוכה רק בתחום שמוכל בטווח של הפונקציה
f, כלומר רק על ערכים שמתקבלים על ידי הפונקציה. אבל אנחנו צריכים לדאוג שיהיה רק x אחד כזה, כלומר ש- y יתקבל רק פעם אחת, וכדי לדאוג לזאת אנחנו לפעמים מצמצמים את תחום ה- x שבהם מדובר.

בדוגמה הראשונה שנתת, y=2x, אין שום בעייה: הפונקציה מוגדרת היטב לכל x , כלומר תחום ההגדרה הוא כל ישר המספרים, וכל y בישר המספרים מתקבל פעם אחת בדיוק. ולכן גם הפונקציה ההפוכה מוגדרת על הישר כולו, וקל למצוא אותה על ידי פתרון המשוואה. לעומת זאת, כשניקח את הפונקציה y = x בריבוע, יש לנו שתי בעיות: ראשית, מתקבלים רק הערכים האי-שליליים, ולכן נאלץ להגדיר פונקציה הפוכה רק על המספרים האי-שליליים, ושנית, כל ערך חיובי מתקבל פעמיים (ממספר חיובי ומהמינוס שלו), ולכן נוהגים להגדיר את הפונקציה ההפוכה רק עבור הפונקציה f
המוגדרת על הקרן החיובית, וזוהי פונקציית השורש הריבועי.

מציאת ביטוי אלגברי לפונקציה ההפוכה זוהי בעיית פתרון המשוואה. לא תמיד היא פשוטה, או אפילו ניתנת לחישוב.

במקרה שלך, הפונקציה y=x+1/x מוגדרת על כל המספרים השונים מ- 0. אבל הטווח הוא רק המספרים שערכם המוחלט אינו קטן מ- 2 – ורק על תחום זה ניתן להגדיר פונקציה הפוכה. שנית, כל המספרים שערכם המוחלט גדול מ- 2 מתקבלים פעמיים, ועל כן תידרש הגבלה נוספת שתבטיח יחידות.

כשנפתור את המשוואה הריבועית נראה שלכל y כזה יש שני פתרונות (ערכי פלוס-מינוס של השורש) ואנחנו יכולים לבחור, למשל, לקחת רק את ערך הפלוס, כלומר לצמצם את הפונקציה ההפוכה לתחום בו הערך המוחלט של x אינו קטן מ- 1.

אני מציע לך לשרטט גרף של הפונקציה כדי לראות מה קורה כאן – בדרך כלל אנחנו יכולים להפוך פונקציה בחלק של הגרף שבו הפונקציה רציפה ומונוטונית (כלומר, תמיד עולה או תמיד יורדת), כי שם לא רק שכל מקביל לציר y חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונקציה), אלא גם כל מקביל לציר x חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונרציה ההפוכה).

דן עמיר

פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב

לשאלה זו נשאלה שאלת המשך, לצפייה לחצו כאן
הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
תגובות      [ הוסף תגובה ]
 
1 פונקציות הפוכות
מאת: עמוס גואטה     //


שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up