בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 5754 - אסטרטגיות תאריך: 02/08/2012
תחומי דעת:  מתמטיקה  
1- כמה ריבועים ניתן לבנות על רשת 4×4 של נקודות במישור הנמצאות במרחק שווה זו מזו?


2- המרחק בין העיר A והכביש הראשי L הוא 7 ק"מ ומרחק העיר B מאותו כביש היא 3 ק"מ המרחק בין שתי הערים הוא 13 ק"מ על הכביש L רוצים לבנותתחנת אוטובוס C. היכן יש למקם את התחנה C כך שסכום המרחקים יהיה מינימלי? הראה שסכום המרחקים המינימלי המקרה זה הוא 15 ק"ם.

3- במשולש ADC זווית C היא 90, יש קוו שעובר מנקודה A לצלע DC שנפגשים בנקודה B.
Aהוא בית הספר וB היא ביתו של התלמיד(חכם) D היא מגרש משחקים וC היא ברכת שחייה.
התלמיד יכול להגיע לבית הספר דרך מגרש המשחקים או דרך ביכת השחייה.המחק בין ביתו לבין ביכת השחיה הוא X ק"ם והמרחק בין בריכת השחייה לבית הספר היא Yק"מ.
המורה בקש מהתלמיד לנשות לאמוד את המרחק בין ביתו למגרש המשחקים כשהוא מגיע מחורת לבית הספר. התלמיד טען שאין צורך להמתין למחר. הוא טען שהמרחקים הנתונים מספיקים לו למצוא את המרחק בנדרש במדויק, הכיצד?
תשובה מאת: פרופ' דוד גילת
   

שלום

תשובה לשאלה הראשונה:

לנוחיות זיהוי הנקודות ברשת, נשכן אותה במערכת קואורדינטות קרטזית כך ש-16 נקודות הרשת
יהיו כל
הנקודות בעלות הקואורדינטות השלמות של הריבוע שאחד מאלכסוניו
הוא הקטע המחבר את הנקודה (1,1) עם הנקודה (4,4) . (שימו לב שריבוע (בניגוד למרובע אחר, כמו למשל מלבן) נקבע באופן חד משמעי על ידי כל אחד משני אלכסוניו).


נמיין את הריבועים לשתי קבוצות: (א) ריבועים שצלעותיהם מקבילות לצירי המערכת. (ב) רבועים שצלעותיהם מוטות כלפי הצירים.


בקבוצה (א) יש 9 ריבועים בעלי צלע באורך 1, 4 בעלי אורך צלע 2 וריבוע 1 בעל צלע באורך 3, בסך הכל 14 ריבועים שצלעותיהם מקבילות לצירים (קל לזהות ריבועים אלה ואתם מתבקשים לעשות זאת).


קבוצה (ב) מורכבת מ-4 ריבועים שאורך צלעותיהם שורש-2 כאורך הצלע של ריבוע יחידה, 2 מהם מוטים בזוית של 45 מעלות כלפי הכיוון החיובי של הציר האופקי, והשניים האחרים - בזוית 135 מעלות כלפי אותו כיוון (ספציפית:הקודקודים של אחד הריבועים האלה (קודקודי האחרים נקבעים על ידי סימטריה) הם הנקודות:

(2,1), (3,2), (2,3), (1,2) (מסודרות מימין לשמאל נגד כיוון השעון. אגב, כשמחליפים את סדר הקואורדינטות מתקבלות אותן 4 נקודות בסדר הפוך - אתם רואים מדוע?), ועוד 2 ריבועים בעלי צלע באורך שורש-5, אחד מוטה כלפי הכיוון החיובי של הציר האופקי בזוית שהטנגס שלה הוא
חצי והשני - 2. הקודקודים של הראשון הם:

(2,1), (4,2), (3,4), (1,3) (אגב, כשמחליפים כאן את סדר הקואורדינטות מתקבלים קדקודיו של הריבוע השני מסוג זה - אתם רואים מדוע?).


לסיכום: בקבוצה (א) 14 ריבועים ובקבוצה (ב) 6 ריבועים, ובסך הכל 20 ריבועים.


כדי להשלים את פתרון הבעיה, יש להוכיח ש-20 הריבועים שמצאנו ממצים את כל האפשרויות של ריבועים שקודקודיהם ברשת.

הנה הצעה לרעיון של הוכחה: ל-20 הריבועים שמצאנו 40 אלכסונים. קצות האלכסונים האלה מהווים 40 מ-120 = 15x8 זוגות הנקודות ברשת.

אפשר לבדוק בקלות (ולא אעשה זאת כאן) שאף אחד מ-80 הזוגות הנותרים אינו מהוה קודקודים אלכסוניים של ריבוע ששני קודקודיהם האחרים שייכים ל-16 נקודות הרשת. מטעמי סימטריה אין צורך לבדוק את כל 80 האפשרויות. אמור מעתה שהספירה שלנו ממצה את כל אלכסוני הריבועים ברשת ולכן את כל הריבועים עצמם.


תשובה לשאלה השניה:


שוב, כדי להיות על קרקע משותפת, נניח שהכביש L משתרע בכיוון מזרח-מערב ושתי הערים A, B נמצאות בצידו האחד של הכביש, נניח בצידו הצפוני (אפשר לנתח את השאלה גם כאשר הערים נמצאות מצדדים שונים של הכביש, אך לא נעסוק בזה כאן – אתה מוזמן לחשוב על כך בעצמך).

מבחינה גיאומטרית לפנינו קו ישר L ושתי נקודות A ו-B מצידו האחד. דרושה נקודה C על L שסכום מרחקיה מ-A ו-B הוא מינימאלי.

טענה: הנקודה המבוקשת היא הנקודה היחידה על L שעבורה הזוית בין AC ל- L שווה לזוית בין BC ל-L.

להמחשת הוכחה כתובה של טענה חשובה זו רצוי להיעזר בתרשים שלצערי בנייתו והכנסתו לכאן היא מעבר ליכולתי הטכנית, לכן אמנע מלכתוב הוכחה ואסתפק בכך שאגיד כי ההוכחה משתמשת בבניית עזר שבה משקפים אחת הנקודות סביב הישר.

עכשיו, לאחר שמיקמנו את הנקודה C על L, אנחנו יכולים להשתמש בנתונים המספריים ולחשב. למשל, עקב שוויון הזויות האמורות, שני המשולשים ישרי הזוית בעלי היתרים AC ו-BC (בהתאמה) וזוג אחד של ניצביהם מוכלים ב-L ואילו האחרים (בהכרח) מאונכים ל-L – הם דומים. מכאן מקבלים שהיחס בין AC ל-BC הוא כמו 7 ל-3. כשמנצלים את המרחק הנתון בין A ל-B מתקבלת משואה נוספת
נוספת עבור המרחקים
AC ו-BC. וכשפותרים את שתי המשוואות מקבלים את מרחקי הערים מן התחנה כשהיא ממוקמת כך שסכום מרחקים אלה הוא מינימאלי.


לטענה שלעיל יש ביטוי יפה באופטיקה (תורת האור) גיאומטרית. על פי עקרון FERMAT (מתמטיקאי ומדען מהמאה ה-17 הידוע בעיקר בזכות תרומותיי המשמעותיות לתורת המספרים) האור נע מנקודה לנקודה בדרך הקצרה ביותר. מסקנה (הנובעת מהטענה דלעיל): זוית ההחזרה של קרן אור הפוגעת במשטח מחזיר-אור שווה לזוית הפגיעה של הקרן במשטח.


ביטוי נוסף לתופעה זו היא העובדה הגיאומטרית הבאה: משיק לאליפסה (או היפרבולה) בנקודה כלשהיא עליה יוצר זויות שוות עם הקטעים המחברים את נקודת ההשקה עם המוקדים. או: קרן אור היוצאת ממוקד ופוגעת במשטח מחזיר אליפטי (או היפרבולי) תוחזר דרך המוקד השני. יוצא מזה שאם מקור אור קבוע במוקד של אליפסה מפזר אור לכל הכיוונים, אז האור המוחזר משפת האליפסה יתמקד במוקד השני .

תשובה לשאלה השלישית:

התלמיד החכם טועה: שני המרחקים הנתונים X ו-Y אינם קובעים באופן חד משמעי את המרחק בין ביתו של התלמיד (הנקודה B בתרשים) לבין מגרש המשחקים (הנקודה Dשבתרשים.(אי לכך לא ניתן לחשב מרחק זה מידיעת המרחקים X ו-Y בלבד . כדי להיווכח בנכונות טענתי, די אם בתרשים נקבע את הנקודות A,B,C- מה שקובע את X ואתY ואז אנחנו חופשיים לבחור את המיקום של D בהמשך הקטע CB כרצוננו ולקבל כל ערך שנבקש למרחק בין הבית B למגרש המשחקים D, כל זאת מבלי לשנות את X ואתY

אך פטור בלא כלום אי אפשר, הרי מדובר בתלמיד שהוא חכם...בעומדו בבית הספר יכול התלמיד למדוד את הזוית שבין הכיוון מביה"ס A לבריכת השחייה C לבין הכיוון מ-A ל-D (מגרש המשחקים) ואז יחד עם הגדלים X ו-Y ניתן לחשב את המרחק מ-B לD -

ייתכן שלכך התכוון מחבר השאלה.

פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up