בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     
     
     
     
     
     
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 5464 - שני משיקים ושני חותכים למעגל מאותה נקודה חיצונית- חזיז ורעם... תאריך: 23/1/2012
תחומי דעת:  מתמטיקה  

זוהי שאלת 'אתגר' בגיאומטריה


שניסינו לפצח באחד הפורומים והעלינו חרס.


אניי שולח ללא ציור- הנתונים אינם מסובכים מאד- בסך הכל שני משיקים ושני חותכים כלשהם היוצאים מאותה נקודה חיצונית למעגל נתון


שני החותכים מקצים 4 נק' על היקף המעגל- כלומר מרובע חסום.


הפלא הוא ששתי נק' ההשקה ומפגש אלכסוניו של המרובע הלז תמיד תימצאנה על ישר אחד.


אפשר להפעיל כאן 'מכל טוב' ארגז הכלים הגיאומטרי - פרופורציות במעגל (מכפלת חלקו החיצוני של המשיק באורך המשיק כולו)


ואפילו במשפט מנלאוס ניסינו לשוא להיעזר.


האם דרוש כאן 'תותח' כבד יותר?


אני משער שניתן להוכיח ש מפגש האלכס' ו2 נק ההשקה הם על ישר אחד באמצעים אנליטיים/טריגונומטריים וקטורים???


מה השיטה הקלה ביותר?


תומר


האם הבעייה ניתנת להרחבה לכדורים?

תשובה מאת: פרופ' דן עמיר
   

פתרון השאלה באמצעים האלמנטריים של הגיאומטריה האוקלידית הידועים לתלמידי בית הספר התיכון אינו פשוט. פתרון חישובי ישיר אמנם אפשרי, אך הוא מייגע מאוד. מאידך, שימוש באמצעי הגיאומטריה הפרוייקטיבית הופך את הבעייה, באמצעות העתקה פרוייקטיבית מתאימה, לפשוטה ביותר. אך אינני מניח שזה יספק את השואל. אפשרות שלישית היא שימוש במושג הקוטביות בין נקודות וישרים ביחס למעגל נתון. לא אכנס לפרטים, אבל אתווה את הדרך:

נוכל להניח שהמעגל הנתון הוא מעגל היחידה שמרכזו O.

הנקודה A והישר a קטביים זה לזה (ביחס למעגל) אם a ניצב לישר AO בנקודה שמרחקה מ- O
הוא ההופכי למרחק
AO. ברור שכל נקודה על המעגל קוטבית למשיק באותה נקודה. תכונות (לא קשות להוכחה) של הקוטביות הן: אם B היא נקודה על הישר a הקוטבי לנקודה A, אזי A
נמצאת על הישר
b הקוטבי ל- B. הנקודה הקוטבית לישר הנקבע על ידי שתי נקודות היא חיתוך הישרים הקוטביים לנקודות אלו, והישר הקוטבי לחיתוך שני ישרים עובר דרך שתי הנקודות הקוטביות להם. אם
P
נקודה מחוץ למעגל, אזי הישר הקוטבי לה עובר דרך שתי נקודות ההשקה של המשיקים למעגל העוברים ב- P.

הטענה שאנו רוצים להוכיח נובעת מיידית, באמצעות הקטביות, מהמשפט הבא: למרובע החסום במעגל, 2 נקודות מפגשי זוגות הצלעות הנגדיות ו- 2 נקודות מפגשי המשיקים בזוגות קדקודים הנגדיים נמצאות על ישר אחד. (הטענה שלנו נובעת ממשפט זה כיוון שנקודות מפגש המשיקים הן הקוטביות לאלכסוני המרובע).

את המשפט הזה אפשר למצוא בערך
Pascal's theorem
בוויקיפדיה. שם הוא מובא כמקרה גבולי של משפט פסקאל על משושה החסום במעגל. (שם גם ישנה הפנייה להוכחה אלמנטרית למשפט פסקאל, שבדרך כלל מתקבל במסגרת הגיאומריה הפרוייקטיבית).

בברכה, דן עמיר

פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up