בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 5314 - הנחות מתמטיות תאריך: 10/11/2011
תחומי דעת:  מתמטיקה  
שלום לכם!

קודם כל אני חייב לציין שנורא אהבתי את הרעיון של האתר.כל הכבוד ליוזמי הרעיון.

עכשיו לשאלה-



עלתה במוחי שאלה שהטרידה אותי קצת לגבי היסודות של המתמטיקה-



כאשר אני מגדיר איזשהי פעולה מתמטית חדשה איך אני יודע שהיא לא תוביל לסתירות?כמו למשל אם a,b טבעיים אז a*b הכוונה היא a פעמים b או להיפך.כך הגדרנו את זה למספרים טבעיים.אבל אם נקח למשל את מינוס a פעמים b זה לא מוגדר כרגע,ולכן עלינו להניח שזה שווה ל-מינוס ab רק כדי שזה יתאים להגדרות הקודמות על מספרים טבעיים.איך אני יודע שהנחה זאת לא תוביל לסתירות?



עוד שאלה בסגנון זה-
א
אם נגדיר אפס כ-a-a=0 אז מהנחה זאת ניתן להגיע מתמטית לכך ש- a(0)=a(a-a)=aa-aa=0 אבל את ההיפך,כלומר 0 פעמים a לא ניתן להגיע בצורה מתמטית(או לפחות ממה שניסיתי) ולכן אנו שוב מניחים שזה שווה לa פעמים 0,כלומר 0.שוב,איך אנו יודעים שההנחות לא יסתרו דברים רק בגלל שאנחנו רוצים שהם יתאימו לחוקים האינטואיטיביים שלנו??



תודה רבה רבה על התשובה!אשמח לקבל תשובה רצינית משום שבסיס טוב מוביל לעץ גבוה.
תשובה מאת: פרופ' דוד גילת
   

שלום רב,


שאלותיך, או ליתר דיוק – תהיותיך, נוגעות ביסודות תורת ההיגיון (לוגיקה) ובאמינותה.


המתמטיקאי-לוגיקאי הדגול (1906-1978) KURT GOEDEL, במענה ל"חלום" של הילברט (1862-1943) – מתמטיקאי דגול בפני עצמו שביקש לבסס את

כל המתמטיקה על כמה עקרונות לוגיים פשוטים שבאמצעותם ניתן להוכיח או לסתור כל טענה מתמטית, הוכיח שאין בנמצא מערכת מתמטית פורמאלית

שלימה, כלומר שבכל מערכת אכסיומטית-פורמאלית יש בעיות שלא ניתנות להכרעה, או – במילים אחרות – יש טענות שאפשר אמנם לנסחן בתוך המערכת אך

שבאופן עקרוני לא ניתן להוכיחן או להוכיח את שלילתן. זהו בקווים כלליים ביותר תוכנו של מה שנקרא "משפט אי השלמות של GOEDEL".


בביסוס אכסיומטי של המספרים הטבעיים (חמש האקסיומות של GIUSEPPE PEANO (1858-1932)) לאחר שמגדירים את פעולות החשבון חיבור וכפל

אפשר להוכיח (כמסקנה לוגית מתחייבת מהאקסיומות וההגדרות), למשל, שהן החיבור והן הכפל (בין מספרים טבעיים) הן פעולות "קומוטטיביות", כלומר שהן הסכום והן המכפלה של שני מספרים טבעיים אינם תלויים בסדר הופעתם.


המספר 0 (אפס) אינו שייך למספרים הטבעיים והוא מופיע לראשונה בהרחבת הטבעיים למערכת המספרים השלמים, שבה האפס הוא האיבר הניאוטראלי לגבי החיבור.

הרחבה זו מתבצעת אף היא באופן אכסיומטי (אם כי בהתאמה להבנתנו האינטואיטיבית של המספרים השליליים), כאשר העובדה (שבהבנתה מתקשים תלמידים רבים)

ש- (1-)(1-) מוגדר
כשווה 1+ נובעת מתוך הצורך ש "חוק הפילוג" (של הכפל ביחס לחיבור), שהוא נכון במערכת המספרים הטבעיים, יישאר בתוקף במערכת הרחבה יותר.


שים לב שפיאנו פעל בסוף המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20 ואילו אנשים השתמשו בהצלחה וללא סתירות במספרים השלמים במשך אלפי שנים לפני הביסוס הפורמאלי שלהם.

כך שלמרות שאין ביטחון הרמטי שהמתמטיקה היא חסרת סתירה פנימית, במערכות פשוטות כמו המספרים השלמים, שאיתן יש ניסיון מצטבר של אלפי שנים, אין לנו מה לחשוש מסתירות.


אינני בטוח שעניתי על תהיותיך לשביעות רצונך, אך אני מקווה שהפקת תועלת כלשהי מדברי הקצרים ושהצלחתי לעורר בך סקרנות להמשיך להתעניין בנושא

ולקרוא עליו (ברשת האינטרנט תוכל למצוא מידע רב והפנייה לספרים מתאימים).


כל טוב,

דוד גילת




פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up