בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     
     
     
     
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 4515 - צפיפות המספרים הראשוניים תאריך: 06/06/2010
תחומי דעת:  מתמטיקה  

שלום רב,


האם כמות המספרים הראשוניים היא בהכרח אינסופית?


שכן נראה שככל שמרחיקים לכת בעולם המספרים (הממשיים) כמות המספרים הראשוניים הולכת וקטנה.


אם כן, מהו האלגוריתם לבניית מספר ראשוני כך שיהיה גדול ממספר נתון?


כמו כן, אם כן אשמח לדעת באיזה מידה כמות המספריים הראשוניים הולכת וקטנה, והאם יהיה נכון לאמר שאם היא קבוצה אינסופית אז היא בעלת תכולה אפס?



בתודה מראש,


יואב זילברמן

תשובה מאת: פרופ' דן עמיר
   

ליואב שלום רב,


לא ידוע תפריט לבניית מספרים ראשוניים, אבל לא קשה להוכיח שלכל מספר טבעי נתון N יש מספר ראשוני גדול ממנו:

לשם כך נסתכל במכפלה !N של כל המספרים הטבעיים מ- 1 עד N. N! מתחלק בכל מספרים טבעי מ-1 עד N, ולכן המספר Q=N!+1 משאיר שארית 1 בחלוקה בכל אחד מהם, ובוודאי אינו מתחלק באף מספר טבעי עד N. אם Q אינו ראשוני, אזי חייב להיות לו גורם ראשוני, אבל גורם זה חייב להיות גדול מ-(N כיוון שאין ל- Q גורמים קטנים מ- (. מכאן שיש אינסוף מספרים ראשוניים (זוהי הוכחתו בת 2500 השנים של אוקלידס!). צפיפות המספרים הראשוניים אכן הולכת וקטנה כל שאנו מתקדמים בסדרת הטבעיים, ובין N המספרים הטבעיים הראשונים נמצאים בקירוב N/logN מספרים ראשוניים (זהו משפט המספרים הראשוניים – ראה בויקיפדיה). אני מניח שלכך אתה מתכוון במילים "תכולה 0".


בברכה,


פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up