בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 3846 - אינסוף תאריך: 06/02/2009
תחומי דעת:  מתמטיקה  

העוצמה הקטנה ביותר של אינסוף מסומנת באלף אפס, זוהי העצמה של קבוצת המספרים הטבעיים, עצמת הרצף מסומנת באלף אחד והיא גדולה מאלף אפס, בעקרון אנו יודעים שקיימים אינסוף עצמות אינסופיות-כי לכל קבוצה נתונה קיימת קבוצה שאינה שקולה לה-הלא היא קבוצת הקבוצות החלקיות של הקבוצה הנתונה.


עוצמת הרצפ מספיקה כדי לתאר כל קבוצה אינסופית שנוכל לדמיין-החל מקבוצת הנקודות על קטע ישר וכלה בקבוצת הנקודות שבמעגל או על כדור בעלי קוטר אינסופי.


אבל האם לקבוצת כל הפונקציות יש עוצמה גדולה יותר מאשר עוצמת הרצף.


???

תשובה מאת: פרופ' דן עמיר
   

שלום רב,

ראשית, אלף אחד מסמן את העצמה הראשונה הגדולה מאלף אפס. אם כי קנטור שיער שזוהי עצמת הרצף , הוכח ע"י פול כהן שזה אינו הכרחי במערכת האכסיומאטית הרגילה של תורת הקבוצות. שנית, לא ברור למה אתה מתכוון כשאתה אומר שעצמת הרצף "מספיקה כדי לתאר כל קבוצה אינסופית שנוכל לדמיין" – מהדוגמאות שאתה נותן נראה שאתה מתכוון לקבוצות של נקודות במישור, וזאת מכיוון שעצמת קבוצת כל הנקודות במישור (וגם של מרחבים אוקלידיים מממדים גבוהים יותר) היא, אכן, עצמת הרצף. אבל, כפי שאתה כותב בהתחלה, קבוצת הקבוצות החלקיות של הישר, למשל, היא מעצמה גדולה מעצמת הרצף. אבל קבוצה זו שקולה לקבוצת "הפונקציות האופייניות" מהישר לזוג המספרים {0,1} (הפונקציה האופיינית לקבוצה A מקבלת את הערך 1 בנקודות A ואת הערך 0 בנקודות שמחוץ ל A) . לכן, קבוצת כל הפונקציות מהישר לעצמו, עליה שאלת, היא מעצמה גדולה מעצמת הרצף.
בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up