בשער-קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער בפייסבוק - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
דף הבית   |   על בשער   |   פעילויות בשער   |   ספר אורחים   |   צור קשר      רשימת תפוצה
 
 
 > שלח שאלה למומחה
 
 
 
     כל התחומים
     
     
     
     
     אסטרופיזיקה
     הנדסת חשמל
     הנדסת מזון
     כימיה
     פרקינסון
     ננוטכנולוגיה
     הנדסה
     מדעי המחשב
     כימיה
     ביולוגיה
     פיזיקה
     רפואה
     מתמטיקה
     מדעי הסביבה
     גיאוגרפיה
     מוט"ב
     הוראת המדעים
     אזרחות
     כלכלה
     היסטוריה
     משפטים
     פסיכולוגיה
     תנ"ך
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 > בשער האזרחות
 
 
 > הרצאות מומחים ברשת
 
 
 > רשימת תפוצה
 
 > חתום בספר האורחים
 
 > כניסה לשואלים רשומים
 
 
 > English
 
שאלה מספר 3427 - נפח קובייה תאריך: 04/02/2008
תחומי דעת:  מתמטיקה  

יש שאלה שמטרידה את מנוחתי:
שטח פנים של קובייה הוא
6a^2
נפח של קובייה לפי הגדרה הוא
a^3

לפי מה שההיגיון שלי אומר לי, נפח קוביה בגודל x הוא סכום שטחי הפנים של כל הקוביות הקטנות ממנה (עד לגודל 0), בדומה לחישוב של נפח כדור.

כלומר אינטגרל של
6a^2
מ-0 עד x

אז למה זה יוצא
2a^3
ולא כמו ההגדרה?
תשובה מאת: פרופ' דן עמיר
   

שלום רב לשואל. ההיגיון שלך מטעה אותך במידה מסוימת. נפח אינו סכום של שטחים, כשם ששטח אינו סכום של אורכים. בחשבון האינטגראלי אנחנו מקרבים את השטח ע"י סכום של פסים דקים, ואת הנפח ע"י סכום של שכבות דקות, ומקבלים את הנפח, או השטח, כגבול של אותם סכומים כאשר עובי הפס או השכבה שואף לאפס. בדרך כלל אנחנו מבצעים את החלוקה על ציר x כך שעובי הפס מסומן Δx. אורך הפס, או שטח השכבה, המתאימים ל x מסוים הם, בדרך כלל, פונקציה f(x) של x. ואנחנו מסכמים את האלמנטים Δx f(x). בחישוב נפח הכדור אנחנו לוקחים כx את הרדיוס של השכבה הכדורית, ואז נפח השכבה הואΔx x^2π4 , וכיוון ש x משתנה בין 0 ל R , האינטגרל הוא R^3/3π4. גם בחשבון האנלוגי (וכמובן מיותר) שהצעת לגבי הקובייה x צריך להיות הרדיוס, כלומר חצי צלע הקובייה, ואז x משתנה בין 0 ל a/2, נפח הקליפה הקובייתית הוא
x (2x)^26 Δ, והאינטגרל הוא 24 (a/2) ^3/3 , כלומר 3 a^ , כמצופה. בדרך שהצעת, כלומר באינטגראציה מ 0 עד a, הקוביה מכוסה פעמיים ע"י הקליפות, ולכן מתקבלת התוצאה הכפולה.

בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב

הוסף תגובה הדפס שאלה      שלח לחבר      שאלות מועדפות
שלח שאלה למומחה   |   שמור כדף הבית   |   הוסף למועדפים   |   תנאי שימוש באתר   |   Powered By Art-Up